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평면기하

2026-11-09

중학교 과정의 평면기하를 움직이는 그림으로 모았습니다. 삼각형의 외심·내심·무게중심, 닮음과 길이의 비, 원과 직선의 관계를 다룹니다. 꼭짓점을 끌어서 모양을 바꿔도 성질이 그대로 유지되는지 확인해 보세요. 변하지 않는 것이 곧 정리입니다.

한눈에 보는 개념

삼각형의 다섯 가지 점 중 중요한 세 가지

• 외심은 세 변의 수직이등분선이 만나는 점입니다. 세 꼭짓점에서 거리가 같아서, 삼각형을 지나는 원(외접원)의 중심이 됩니다. 직각삼각형에서는 빗변의 중점입니다.
• 내심은 세 각의 이등분선이 만나는 점입니다. 세 변에서 거리가 같아서, 삼각형 안에 꼭 맞게 들어가는 원(내접원)의 중심입니다.
• 무게중심은 세 중선(꼭짓점과 맞변의 중점을 잇는 선)이 만나는 점입니다. 각 중선을 꼭짓점 쪽에서 2:1로 나눕니다. 삼각형을 손가락 끝으로 받칠 때 균형이 잡히는 점입니다.

닮음과 길이의 비

• 모양이 같고 크기만 다른 도형이 닮음입니다. 닮음비가 m:n이면 길이는 m:n, 넓이는 m²:n²입니다.
• 삼각형에서 한 변에 평행한 선을 그으면 다른 두 변을 같은 비로 나눕니다. 이것이 길이비의 기본 도구입니다.
• 중점연결정리: 두 변의 중점을 이은 선분은 나머지 한 변과 평행하고 길이가 그 절반입니다.
• 각의 이등분선은 맞변을 두 변의 길이 비로 나눕니다. (AB:AC = BD:DC)
• 직각삼각형에서 직각 꼭짓점에서 빗변에 수선을 내리면 닮은 삼각형 세 개가 생깁니다. 여기서 피타고라스의 정리도 나옵니다.

원과 직선, 두 원

• 접선은 접점에서 반지름과 수직입니다. 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이는 같습니다.
• 원 밖의 점에서 그은 할선과 접선 사이에는 PA·PB = PT²이라는 관계가 있습니다. (방멱의 정리)
• 원 안에서 두 현이 만나면 각 현의 두 조각을 곱한 값이 같습니다.
• 두 원은 중심 사이의 거리와 반지름의 합·차를 비교해서 위치 관계(떨어짐, 외접, 두 점에서 만남, 내접, 포함)가 정해집니다.

그래프로 확인하기

각 줄을 눌러 열고, 점이나 슬라이더를 움직여 보세요.

참고

• 그래프는 GeoGebra에서 만든 자료를 불러오며, 인터넷 연결이 필요합니다.