수학 › 극한·미적분

극한과 미적분

2026-11-09

극한, 미분, 적분은 모두 "아주 작게 쪼개거나 아주 가깝게 다가가면 무슨 일이 생기는가"라는 한 가지 질문에서 나옵니다. 아래 개념 정리를 먼저 가볍게 읽고, 그 밑의 그래프를 열어서 직접 움직여 보세요. 읽는 것보다 한 번 움직여 보는 것이 훨씬 빨리 이해됩니다.

한눈에 보는 개념

극한은 x가 어떤 값에 한없이 가까워질 때 f(x)가 어디로 가는지를 보는 것입니다. 중요한 점은 그 값에 "도착한다"가 아니라 "가까워진다"는 것입니다. 그래서 x=1에서 함수값이 정의되어 있지 않아도 극한은 있을 수 있습니다.

• 왼쪽에서 다가갈 때의 값이 좌극한, 오른쪽에서 다가갈 때의 값이 우극한입니다.
• 좌극한과 우극한이 같을 때만 극한이 존재합니다. 다르면 극한이 없습니다.
• 값이 어떤 수에 가까워지면 수렴, 한없이 커지거나 작아지면 발산이라고 합니다.

미분은 변화의 빠르기를 구하는 일입니다.

• 두 점 사이의 평균 빠르기가 평균변화율(두 점을 잇는 직선의 기울기)입니다.
• 두 점을 한없이 붙이면 그 순간의 빠르기, 곧 순간변화율(미분계수)이 되고, 이것이 그 점에서 그린 접선의 기울기입니다.
• 모든 점의 기울기를 모아 하나의 함수로 만든 것이 도함수입니다. 예를 들어 f(x)=x²이면 도함수는 2x입니다.

적분은 쌓아서 합치는 일입니다.

• 구간을 아주 잘게 쪼개서 직사각형 넓이를 모두 더하는 방법(구분구적법)에서 출발합니다. 쪼갤수록 합이 곡선 아래 넓이에 가까워집니다.
• 이 합의 극한이 정적분입니다.
• 미분과 적분은 서로 반대 방향의 계산이라는 사실이 미적분의 기본정리입니다. 그래서 정적분은 쪼개서 더하지 않고도 계산할 수 있습니다.

그래프로 확인하기

수열의 극한부터 정적분까지 순서대로 놓았습니다. 각 줄을 눌러 열고, 점이나 슬라이더를 움직여 보세요.

참고

• 그래프는 GeoGebra에서 만든 자료를 불러오며, 인터넷 연결이 필요합니다. 열리지 않으면 "GeoGebra에서 크게 열기"를 눌러 주세요.